ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование химических систем и процессов является важной задачей современной науки и техники. Развитие алгоритмов и программных средств их реализации ставит задачу обучения химиков эффективным навыкам использования численных методов для решения практических задач химических исследований. Соединение знаний химических законов и численных методов решения возникающих из моделирования химических задач позволяет существенно улучшить готовность студентов к профессиональной деятельности в современных условиях.

Целью курса «Численные методы и программирование» является ознакомление студентов с математическими основами численных методов решения задач (решение уравнений, систем уравнений, дифференциальных уравнений, интегрирования и дифференцирования) и применение этих численных методов для решения проблем математического моделирования химических систем и процессов. Курс ориентирован на применение общедоступной программы автоматизации вычислений MS Excel.

Основные приемы работы с программой Microsoft Excel. Рабочие книги и рабочие листы. Типы данных в MS Excel. Использование формул для выполнения вычислений. Порядок выполнения арифметических операций, использование встроенных функций. Абсолютные и относительные ссылки на ячейки. Диапазоны ячеек, массивы, выполнение матричных операций.

Основы математического моделирования. Основные этапы математического моделирования. Создание математической модели. Приближенный характер математической модели. Реализация математической модели. Алгоритм и программа. Способы записи алгоритмов. Численный эксперимент. Тестирование и отладка математической модели.

Погрешности математического моделирования. Неустранимая погрешность (погрешность модели) и устранимая погрешность (погрешность численного метода и погрешность вычислительная).

Приближенные числа. Правила записи приближенных чисел. Теория приближенных вычислений. Абсолютная и относительная погрешность. Погрешность вычисления функции одной и нескольких переменных. Погрешности сложения, вычитания, умножения, деления приближенных чисел.

Итерационные последовательности. Типы сходимости итерационных процессов. Локальная и глобальная сходимость. Порядок сходимости. Критерии сходимости итерационных последовательностей.

Численные методы решения уравнений. Метод простой итерации. Метод касательных (Ньютона-Рафсона). Метод дихотомии (половинного деления). Метод хорд (секущих).

Задачи моделирования химических систем, сводящиеся к решению уравнений. Равновесие в системе с произвольной химической реакцией. Равновесия в буферном растворе слабой кислоты и соответствующей соли. Равновесие в растворах комплексных соединений, слабых кислот и оснований.

Численные методы решения систем линейных уравнений. Матричная форма записи систем линейных уравнений. Влияние погрешности коэффициентов системы уравнений на погрешность результата. Обусловленность систем линейных уравнений. Точные (прямые) методы решения задачи. Методы Гаусса, Гаусса-Жордана, Крамера. Нахождение обратной матрицы.

Численные методы решения систем уравнений. Метод сопряженных градиентов. Метод минимальных невязок. Примеры химических задач, сводимых к решению систем линейных уравнений. Определение состава раствора по его светопоглощению. Аппроксимация ряда точек заданной функцией с параметрами. Интерполяция сплайнами. Регрессионный анализ методом наименьших квадратов (МНК). Линейные и нелинейные математические модели. Нелинейные модели, которые можно свести к линейным.

Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Метод Ньютона. Решение задач оптимизации функции нескольких переменных. Метод наискорейшего спуска. Разложение контура полосы поглощения на составляющие полосы.

Методы численного интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Квадратурные формулы Гаусса-Котеса. Числа Котеса. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля. Системы ортогональных полиномов (Чебышева, Эрмита, Ляггера, Лежандра). Их использование для задач численного интегрирования.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Одношаговые методы: метод Эйлера, Гюна,  методы Рунге-Кутта 3-го – 4-го порядков. Многошаговые методы: явная схема Адамса, метод прогноза и коррекции.

Численное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение решения дифференциальных уравнений высших порядков к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение задач химической кинетики. Последовательные, автокаталитические, цепные процессы. Системы с автоколебаниями концентрации реагирующих веществ. Модель "хищник-жертва" (модель Лотки-Вольтерра). Уравнение движения материального тела.

Расширение функциональности таблиц MS Excel. Программирование пользовательских функций на языке MS Visual Basic for applications.

а) основная литература:

1. Численные методы и программирование / Режим – доступа: http://www.physchem.chimfak.sfedu.ru/Source/num_lect.html, свободный. – Яз. рус.

2. Джонсон, К. Численные методы в химии / К. Дж. Джонсон; пер. с англ. В. П. Дмитриева, С. В. Кривеко, И. Г. Сыщиковой; под ред. А. М. Евсеева. – М.: Мир, 1983. – 503 с.

3. Эберт К. Компьютеры. Применение в химии / К. Эберт, Х. Эдерер; пер. с нем. А. Е. Гохмана; под. ред. Н. С. Зефирова. – М.: Мир, 1988. – 415 с.

б) дополнительная литература:

1. Мэтьюз Д. Численные методы. Использование MATHLAB: учебное издание / Д. Мэтьюз, К. Финк; пер. с англ. Л. Ф. Козаченко; под. ред. Ю. В. Козаченко. – М.: Изд. дом Вильямс, 2001. – 720 с.: ил.

2. Турчак Л. И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

3. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идей. Методы. Примеры.: монография / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 320 с.

4. Формалев В. Ф. Численные методы: учебник / В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников; под ред. А. И. Кибзуна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.

5. Н. Бахвалов, И. Жидков, Г. Кобельков Численные методы. ФизМатЛит. 18 2002.

6. Н. Н. Калиткин Численные методы. ФизМатЛит. 2000.

7. Васильев, А. Н. Научные вычисления в Microsoft Excel [Текст]: серия: Решение практических задач / А.Н. Васильев – М.: Диалектика, 2004. – 512 с.: ил.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ РЕСУРСОВ:

1. Математическое моделирование химико-технологических систем

2. Лекция: Численные методы решения нелинейных уравнений

3. Лекция: Моделирование многомерных нелинейных систем

4. Лекция: Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

5.  Численные методы. Учебное пособие

6. Численные методы на Mathcad'е

7. Численное решение дифференциальных уравнений

8. Численное дифференцирование

9. MS Excel [Электронный ресурс] : Курганский ГУ, Кафедра информационных технологий, Информатика и программирование шаг за шагом / Режим – доступа: http://it.kgsu.ru/MSExcel/, свободный. – Яз. рус.

10. Библиотека алгоритмов / Бочканов С., Быстрицкий В. – Режим доступа: http://alglib.sources.ru, свободный. – Яз. рус.

  Задание № 1. Создать таблицу расписания занятий подгруппы на текущий семестр. Оформление должно быть максимально близко к следующему образцу:

Example.pdf

Задание № 2. Создать таблицу для расчета массовой доли элементов по брутто-формуле соединения. Пример оформления:

Ex_Mr.pdf

Задание № 3. Создать таблицу для аналитического вычисления трех действительных корней кубического уравнения по тригонометрическому методу Виета (описание метода смотри здесь).

Решите следующее кубическое уравнение: 4×3–21.08×2–11.82x+24.7968=0

Задание № 4. Приближенные числа. Погрешности вычислений. Решите задачу из файла с номером, совпадающим с номером Вашего рабочего места.

Задание № 5. Решите уравнение из следующего файла.

Задание № 6. Решите задачу на моделирование состава раствора, приведенную на странице. Константы ступенчатой диссоциации приведены здесь.

Задание № 7. Решение систем линейных уравнений. Задания находятся в файле. По ссылкам далее Вы можете прочитать о методах решения систем линейных уравнений и задач, которые к ним сводятся: аппроксимация функциями и полиномами, задачи о составе смесей. А здесь — о матричных операциях в MS Excel.

Классное задание

Задание № 8. Регресионный анализ методом наименьших квадратов (МНК). Задания находятся в файле. По ссылкам далее Вы можете прочитать о методе наименьших квадратов и  о функциях MS Excel, которые можно использовать для регрессионного анализа.

Задание № 9. Решите систему нелинейных уравнений, приведенных по ссылке. Если не указано иное, то решение найти с точностью до 10–5 по норме вектора невязок.

 Задание № 10. Численные методы вычисления определенных интегралов. Задания находятся в файле. По ссылке далее можно прочитать лекционный материал, посвященный квадратурным формулам.

 Задание № 11. Численные методы вычисления определенных интегралов. Задания находятся ЗДЕСЬ. В заданиях, в которых требуется найти интеграл с заданной точностью формулу интегрирования выбираете самостоятельно. И помните, что необходимо проверять устойчивость решения.

Задание № 12. Численные методы решения ОДУ 1-го порядка. Решите задачу с номером, равном номеру Вашего рабочего места. Задания находятся в файле.

Задание № 13. Решение систем ОДУ 1-го порядка. Решите задачу с номером, равном номеру Вашего рабочего места. Задания находятся в файле.

Файлы MS Excel с решениями следут переслать по адресу: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в браузере должен быть включен Javascript.